1 前言
霍夫曼树是二叉树的一种特殊形式，又称为最优二叉树，其主要作用在于数据压缩和编码长度的优化。
2 重要概念
2.1 路径和路径长度
在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。
图2.1
图2.1所示二叉树结点A到结点D的路径长度为2，结点A到达结点C的路径长度为1。
2.2 结点的权及带权路径长度
图2.2
2.3 树的带权路径长度
树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL。
图2.2所示二叉树的WPL：
WPL = 6 * 2 + 3 * 2 + 8 * 2 = 34；
3 霍夫曼树
3.1 定义
图3.1
叶子结点为A、B、C、D，对应权值分别为7、5、2、4。
3.1.a树的WPL = 7 * 2 + 5 * 2 + 2 * 2 + 4 * 2 = 36
3.1.b树的WPL = 7 * 1 + 5 * 2 + 2 * 3 + 4 * 3 = 35
由ABCD构成叶子结点的二叉树形态有许多种，但是WPL最小的树只有3.1.b所示的形态。则3.1.b树为一棵霍夫曼树。
3.2 构造霍夫曼树
构造霍夫曼树主要运用于编码，称为霍夫曼编码。现考虑使用3.1中ABCD结点以及对应的权值构成如下长度编码。
AACBCAADDBBADDAABB。
编码规则:从根节点出发，向左标记为0，向右标记为1。
采用上述编码规则，将图3.1编码为图3.2所示：
图3.2
如果假设有AACBCAADDBBADDAABB
对应编码为：
00 00 10 01 10 00 00 11 11 01 01 00 11 11 00 00 01 01
长度为36。
3.1.b构造过程如下：
1）选择结点权值最小的两个结点构成一棵二叉树如图3.3：
图3.3
图3.4
图3.5
假设AACBCAADDBBADDAABB
对应编码为：
0 0 110 10 110 0 0 111 111 10 10 0 111 111 0 0 10 10
编码长度为35。
由此可见，采用二叉树可以适当降低编码长度，尤其是在编码长度较长，且权值分布不均匀时，采用霍夫曼编码可以大大缩短编码长度。
4 结语
本文主要介绍了霍夫曼树和如何构造一棵二叉树，霍夫曼编码实现过程中运用到了贪心算法。
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