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逻辑回归（Logistic Regression）是一种广泛用于分类任务的统计模型，特别适用于二元分类问题。尽管名称中带有“回归”，但逻辑回归主要用于分类。逻辑回归算法包含以下几个关键部分：线性回归与分类，Sigmoid 函数与决策边界，梯度下降与优化，正则化与缓解过拟合
分类问题和回归问题有一定的相似性，都是通过对数据集的学习来对未知结果进行预测，区别在于输出值不同。
既然分类问题和回归问题有一定的相似性，那么我们能不能在回归的基础上进行分类呢？
可以使用『线性回归+阈值』解决分类问题，也就是根据回归的函数按照一个阈值来一分为二，但是单纯地通过将线性拟合的输出值与某一个阈值进行比较，这种方法用于分类非常不稳定呢。
但是当我们单纯地使用线性回归来解决分类问题时，输出是一个未限定范围的连续值。这样做存在几个问题：
1.范围不固定：线性回归的输出可能是任何实数（比如 -∞ 到 +∞），这使得我们无法确定一个合理的阈值来判断输出 属于哪个类别。例如，可能得到一个极大的正值或负值，难以直接映射为0或1。
2.阈值选择困难：为了将连续值映射到离散类别（例如 0 和 1），我们通常需要一个判定阈值。如果线性回归的输出值不在一个固定的范围内，选择一个合适的阈值会变得非常困难，尤其是在处理极端值时。
我们是否可以把这个结果映射到一个固定大小的区间内（比如），进而判断。
当然可以，这就是逻辑回归做的事情，而其中用于对连续值压缩变换的函数叫做 Sigmoid 函数（也称 Logistic 函数，S函数）。
输出在之间。
上面见到了 Sigmoid 函数，下面我们来讲讲它和线性拟合的结合，如何能够完成分类问题，并且得到清晰可解释的分类器判定「决策边界」。决策边界就是分类器对于样本进行区分的边界。
那么，逻辑回归是怎么得到决策边界的，它与 Sigmoid 函数又有什么关系呢？文中讲到了两类决策边界，线性和非线性。
在这两张图中，右边的是我们的S函数，它将通过函数计算后的结果映射到了区间，那比如这里要做的就是二分类，就找0.5的那一条线，也就是在原函数中能将数据分成两组的函数，改变之类的参数，比如线性参数的例子里就是-3,1,1，以这几个参数做出来的函数就是决策边界，0.5则是判断边界。
前一部分的例子中，我们手动取了一些参数的取值，最后得到了决策边界。但大家显然可以看到，取不同的参数时，可以得到不同的决策边界。
哪一条决策边界是最好的呢？我们需要定义一个能量化衡量模型好坏的函数——损失函数（有时候也叫做「目标函数」或者「代价函数」）。我们的目标是使得损失函数最小化。总不能一直手动去取参数。
我们如何衡量预测值和标准答案之间的差异呢？最简单直接的方式是数学中的均方误差
均方误差损失（MSE）在回归问题损失定义与优化中广泛应用，但是在逻辑回归问题中不太适用。 因为Sigmoid 函数的变换使得我们最终得到损失函数曲线如下图所示，是非常不光滑凹凸不平的.
我们希望损失函数如下的凸函数。凸优化问题中，局部最优解同时也是全局最优解
在逻辑回归模型场景下，我们会改用对数损失函数（二元交叉熵损失），这个损失函数同样能很好地衡量参数好坏，又能保证凸函数的特性。对数损失函数的公式如下：
其中表示的可以说是根据这个h函数预测的样本值，表示样本取值，在其为正样本时取值为1，负样本时取值为0，正负样本就是我们之前说的分的那两类，比如正常邮件是正样本，垃圾邮件是负样本，我们分这两种情况来看看：
：样本为负样本时，若接近1（预测值为正样本），那么值就很大，也就是对应的惩罚也越大
：样本为正样本时，若接近0（预测值为负样本)，那么值就很大，也就是对应的惩罚也越大
通过惩罚大小就可以判断出参数好坏了。
损失函数可以用于衡量模型参数好坏，但我们还需要一些优化方法找到最佳的参数（使得当前的损失函数值最小）。最常见的算法之一是「梯度下降法」，逐步迭代减小损失函数（在凸函数场景下非常容易使用）。如同下山，找准方向（斜率），每次迈进一小步，直至山底。
梯度下降（Gradient Descent）法，是一个一阶最优化算法，通常也称为最速下降法。要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值，必须向函数上当前点对应梯度（或者是近似梯度）的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索。
上图中，称为学习率（learning rate），直观的意义是，在函数向极小值方向前进时每步所走的步长。太大一般会错过极小值，太小会导致迭代次数过多。
进一步学习梯度算法
曲线3就是过拟合，学的太死板了也就是，那咋办呢？
过拟合的一种处理方式是正则化，我们通过对损失函数添加正则化项，可以约束参数的搜索空间，从而保证拟合的决策边界并不会抖动非常厉害。如下图为对数损失函数中加入正则化项（这里是一个L2正则化项）
在损失函数后面的那一项就是L2正则化项，L2 正则化可以看作是对参数空间内欧氏距离的惩罚。其几何效果是缩小所有参数，使它们更加接近原点，从而降低模型复杂度，会惩罚较大的参数值，但不会直接将它们缩减为零。这种“平滑”的惩罚方式促使模型将所有特征的权重均衡分配，从而减少过拟合。
我们依然可以采用梯度下降对加正则化项的损失函数进行优化。
下面使用了scikit-learn提供的乳腺癌数据集作为示例数据集
结果如下
我们再用python构建一个原生的算法模型，用到了交叉损失函数和正则化
下面是结果
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