bp神经网络 反向传播



（Backpropagation）是一种用于训练

的常见优化算法。它通过计算损失函数相对于每个参数的梯度，并使用梯度下降来更新参数。下面我将给出

的公式

及示例代码。

1.

公式

：

首先，定义

的损失函数为L，该函数是由网络输出和真实标签之间的差异计算得出。假设

有多个隐藏层，每个隐藏层的参数为W和b。

1.1 前向传播：

首先，我们通过前向传播计算每一层的输出值。假设输入为x，第l层的输出为a[l]，则有：

a = x

z[l] = W[l] * a[l-1] + b[l]

a[l] = g(z[l])

其中，g()是激活函数。

1.2 反向传播：

接下来，我们需要计算损失函数相对于每个参数的梯度，然后使用梯度下降更新参数。假设我们有L层

，则有以下公式：

输出层的梯度：

dz[L] = dL / da[L] * g'(z[L])

隐藏层的梯度：

dz[l] = (W[l+1]的转置 * dz[l+1]) * g'(z[l])

参数梯度：

dW[l] = dz[l] * a[l-1的转置]

db[l] = dz[l]

更新参数：

W[l] = W[l] - learning_rate * dW[l]

b[l] = b[l] - learning_rate * db[l]

其中，dL / da[L]是损失函数对输出层输出的导数，g'()是激活函数的导数。

2.

示例代码：

下面是一个使用

进行训练的示例代码：

 # 假设网络有三个隐藏层 hidden_layers = [10, 20, 30] output_size = 2  # 初始化参数 parameters = {} layers_dims = [input_size] + hidden_layers + [output_size] L = len(layers_dims) - 1 for l in range(1, L + 1): parameters['W' + str(l)] = np.random.randn(layers_dims[l], layers_dims[l-1]) * 0.01 parameters['b' + str(l)] = np.zeros((layers_dims[l], 1))  # 前向传播 def forward_propagation(X, parameters): caches = [] A = X for l in range(1, L): Z = np.dot(parameters['W' + str(l)], A) + parameters['b' + str(l)] A = sigmoid(Z) cache = (Z, A) caches.append(cache) Z = np.dot(parameters['W' + str(L)], A) + parameters['b' + str(L)] AL = softmax(Z) cache = (Z, AL) caches.append(cache) return AL, caches  # 反向传播 def backward_propagation(AL, Y, caches): grads = {} dZ = AL - Y m = AL.shape[1] grads['dW' + str(L)] = 1/m * np.dot(dZ, caches[-1][1].T) grads['db' + str(L)] = 1/m * np.sum(dZ, axis=1, keepdims=True) for l in reversed(range(1, L)): dA_prev = np.dot(parameters['W' + str(l+1)].T, dZ) dZ = dA_prev * sigmoid_derivative(caches[l-1][0]) grads['dW' + str(l)] = 1/m * np.dot(dZ, caches[l-1][1].T) grads['db' + str(l)] = 1/m * np.sum(dZ, axis=1, keepdims=True) return grads  # 参数更新 def update_parameters(parameters, grads, learning_rate): for l in range(1, L+1): parameters['W' + str(l)] -= learning_rate * grads['dW' + str(l)] parameters['b' + str(l)] -= learning_rate * grads['db' + str(l)] return parameters  # 训练模型 def train_model(X, Y, learning_rate, num_iterations): for i in range(num_iterations): AL, caches = forward_propagation(X, parameters) cost = compute_cost(AL, Y) grads = backward_propagation(AL, Y, caches) parameters = update_parameters(parameters, grads, learning_rate) if i % 100 == 0: print("Cost after iteration {}: {}".format(i, cost)) return parameters  # 使用示例 parameters = train_model(X_train, Y_train, learning_rate=0.01, num_iterations=1000) 

这是一个简单的

示例代码，其中的sigmoid()、softmax()、sigmoid_derivative()和compute_cost()函数需要根据具体情况自行实现。

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