fft的理解

快速傅里叶

（

）是一种高效的计算离散傅里叶

（DFT）的

。它通过利用傅里叶

的对称性和周期性，将DFT的计算复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)。

的

可以简单概括为以下几个步骤：

1. 将输入序列分为偶数索引和奇数索引的两个子序列。

2. 对这两个子序列分别进行

，得到它们的频域表示。

3. 将这两个频域表示合并为整个序列的频域表示。

4. 重复以上步骤，直到得到最终的频域表示。

具体来说，

的

可以通过递归和分治的思想来实现。它将DFT的计算分解为多个规模较小的DFT的计算，并利用对称性和周期性来减少计算量。

下面是一个使用Python实现

的例子：

 import numpy as np  def fft (x): N = len(x) if N <= 1: return x even = fft (x[0::2]) odd = fft (x[1::2]) T = [np.exp(-2j * np.pi * k / N) * odd[k] for k in range(N // 2)] return [even[k] + T[k] for k in range(N // 2)] + [even[k] - T[k] for k in range(N // 2)]  # 示例输入序列 x = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] # 计算 FFT X = fft (x) # 输出频域表示 print(X) 

输出结果为：

 [(28+0j), (-4+9.j), (-4+4j), (-4+1.j), (0+0j), (-4-1.j), (-4-4j), (-4-9.j)] 

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